Question

已知函数
(1)当时，求函数的极小值；
(2)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；
(3)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

Answer 1

(1)  ；(2) ；(3)参考解析

试题分析：(1)因为函数当时，求函数的极小值，即对函数求导通过求出极值点，即可求出极小值.
(2)过曲线外一点作曲线的切线，是通过求导得到切线的斜率等于切点与这点斜率.建立一个等式，从而确定切点横坐标的大小，由于该方程不能直接求解，所以通过估算一个值，在证明该函数的单调性，即可得到切点的横坐标.
(3)因为根据定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．该定义等价于切线穿过曲线，在的两边的图像分别在的上方和下方恒成立.当时，通过讨论函数的单调性即最值即可得结论.
试题解析：(1)当时，，
当时，；当时；当时.
所以当时，取到极小值.
(2)，所以切线的斜率
整理得,显然是这个方程的解，
又因为在上是增函数，
所以方程有唯一实数解，故.
(3)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为
，
设，则，
若，在上单调递减，
所以当时，此时；
所以在上不存在“转点”.
若时,在上单调递减,所以当时, ，此时，
所以在上不存在“转点”.
若时，即在上是增函数，
当时，，
当时，， 即点为“转点”，
故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.