Question

已知函数.
（1）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）在（1）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；
（3）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.

Answer 1

（1）
（2）当或时，；
当时，；
（3）.

试题分析：（1）利用导数的几何意义，明确曲线在点处的切线的斜率为,建立方程
，再根据曲线经过点，得到方程，解方程组即得所求.
（2）利用“表解法”，确定函数的极值，注意讨论或及，的不同情况；
（3）根据在区间内存在两个极值点，得到，
即在内有两个不等的实根．
利用二次函数的图象和性质建立不等式组 求的范围.
试题解析：（1），
直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,
 ①
曲线经过点， ②
由①②得：              3分
（2）由（1）知：，，, 由，或.
当，即或时，，，变化如下表

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

由表可知：
    5分
当即时，，，变化如下表

	-	0	+	0	-
		极小值		极大值

由表可知：
   7分
综上可知：当或时，；
当时，       8分
（3）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，
即在内有两个不等的实根．
∴            10分
由 （1）+（3）得：，           11分
由（4）得：，由（3）得：，
，∴．
故               13分