Question

设直线是曲线的一条切线，.
（1）求切点坐标及的值；
（2）当时，存在，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）切点，或者切点，；（2）.

试题分析：（1）先设切点，然后依题意计算出，由，计算出切点的横坐标，代入切线的方程，可得切点的纵坐标，最后再将切点的坐标代入曲线C的方程计算得的值；（2）结合（1）中求出的，确定，设，然后将存在使成立问题，转化为，进而求出，分、、三种情况讨论函数在上的单调性，确定，相应求解不等式，即可确定的取值范围.
试题解析：（1）设直线与曲线相切于点
∴,解得或
代入直线方程，得切点坐标为或
切点在曲线上，∴或
综上可知，切点，或者切点，          5分
（2）∵，∴，设，若存在使成立，则只要              7分

①当即时
，是增函数，不合题意              8分
②若即
令，得，∴在上是增函数
令，解得，∴在上是减函数
，,解得               10分
③若即，
令，解得
，∴在上是增函数
∴，不等式无解，∴不存在                12分
综上可得，实数的取值范围为                      13分.