Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．

(1)证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

（1）见解析（2）2.

(1)证明　∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，
∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．
同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．
又四边形ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．
∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
(2)解　如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E­ABCD和正四面体E­BCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.

∴V_E­ABCD＝·S_{正方形ABCD}·EE′＝×2²×＝.
又V_E­BCF＝V_C­BEF＝V_C­BEA＝V_E­ABC＝S_△ABC·EE′＝××2²×＝，
∴多面体ABCDEF的体积为V_E­ABCD＋V_E­BCF＝2.