Question

在中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．

（1）求证：CD∥平面AEF;
（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱锥C-AEF的体积，

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（３）．

试题分析：（1）求证：平面，证明线面平行，即证线线平行，可利用三角形的中位线，或平行四边形的对边平行，本题由于是的中点，由图可知，利用中位线比较麻烦，可考虑利用平行四边形的对边平行，取中点，连结，则是的中位线，，又，故，四边形是平行四边形，从而得平面．（2）求证：平面平面，证明面面垂直，只需证明线面垂直，由平面图知，这样可得平面，从而，得，中，为的中点，所以，故平面，从而得证；（３）求三棱锥的体积，可转化为求三棱锥的体积．
试题解析：（1）取中点，连结，因为分别是的中点，
所以 是的中位线，，且，四边形是平行四边形，所以，又平面，且平面，平面；．．．．．．．．．．４分

由左图知，平面，又且右图中平面，
所以四边形为矩形，则，中，为的中点，
所以且，所以平面，又平面，平面平面
，由左图知，又面AEC⊥平面BCEF，且AEC平面BCEF=CE，
平面，即AC为三棱锥的高，