Question

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD的中点．
（I）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求异面直线BD和CE所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，由已知条件推导出OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD和CE所成角的余弦值．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵四边形ABCD正方形，∴O是AC中点，
又E是PD中点，∴OE∥PB，
∵PB不包含平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，
AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四边形ABCD正方形，PA⊥平面ABCD，
PA=AB=2，E为PD的中点，
∴B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，1，1），
∴

BD

=（-2，2，0），

CE

=（-2，-1，1），
∴cos＜

BD

，

CE

＞=

4-2+0

4+4 • 4+1+1

=

3

6

．
∴异面直线BD和CE所成角的余弦值为

3

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．