Question

定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（Ⅰ）对于n∈N^*，恒有a_n＞1成立；
（Ⅱ）当n＞2且n∈N^*，有a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1成立；
（Ⅲ）1-

1

22014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用数学归纳法、二次函数的性质进行证明结论成立；
（Ⅱ）由a_n+1=a_n²-a_n+1得a_n+1-1=a_n（a_n-1），即当n≥2时，a_n-1=a_n-1（a_n-1），再给n=2、3、…、n列出式子，由迭代法进行证明结论成立；
（Ⅲ）由

an+1-1=an(an-1)

得

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，利用裂项相消法

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

化简后可证明右边，由题意得a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，判断出数列是递增数列，由（Ⅱ）的结论化简，再进行适当的放缩可证明左边．

解答： 证明：（Ⅰ）当n=1时，a₁=2＞1成立，
当k≥2时，假设a_k＞1成立，
那么当n=k+1时，因为a_k+1=a_k²-a_k+1=(ak-

1

2

)2+

3

4

在（1，+∞）递增，
所以a_k+1＞1也成立，
综上得，对于n∈N^*，恒有a_n＞1成立；
（Ⅱ）由a_n+1=a_n²-a_n+1得，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴当n≥2时，a_n-1=a_n-1（a_n-1），
则a₂-1=a₁（a₁-1），a₃-1=a₂（a₂-1），…，
a_n+1-1=a_n（a_n-1），
由以上各式迭代得，a_n+1-1=a_na_n-1…a₂a₁（a₁-1），
∵a₁=2，∴a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1；
（Ⅲ）∵a_n+1=a_n²-a_n+1，且a₁=2，
∴a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²＞0，
即a_n+1＞a_n，则数列{a_n}是单调递增数列，
∵

an+1-1=an(an-1)

，∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=（

1

a1-1

-

1

a2-1

）+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

a2014-1

-

1

a2015-1

）
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

=1-

1

a2015-1

＜1，
由（Ⅱ）得，a_n+1=a_na_n-1…a₂a₁+1，
∴a₂₀₁₅-1=a₂₀₁₄a₂₀₁₃…a₂a₁，
∴1-

1

a2015-1

=1-

1

a1a2…a2014

，
∵数列{a_n}是单调递增数列，且a₁=2，
∴1-

1

a1a2…a2014

＞1-

1

a1a1…a1

=1-

1

22014

，
综上得，1-

1

22014

＜

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

＜1，原不等式得证．

点评：本题考查数学归纳法，迭代法，裂项相消法求数列的和，利用作差法：a_n+1-a_n，判断出数列的单调性，以及利用放缩法证明不等式，综合性强，难度大，考查了较强的逻辑推理能力．