Question

在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若

AD

•

BE

=0，则AB的长为

 

，AE的长为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：延长BE交AD的延长线于点F．由

AD

•

BE

=0，可得

AD

⊥

BE

．即AF⊥BF．由∠BAD=60°，可得∠ABF=30°=∠DEF，设DF=x，又E为DC的中点，则DE=2x，AB=4x．利用含30°的直角三角形的三边关系，勾股定理即可得出．

解答： 解：如图所示，
延长BE交AD的延长线于点F．
∵

AD

•

BE

=0，∴

AD

⊥

BE

．
∴AF⊥BF．
∵∠BAD=60°，∴∠ABF=30°=∠DEF，
设DF=x，又E为DC的中点，则DE=2x，AB=4x．
∴4x=2（1+x），解得x=1．
∴AB=4．
在Rt△AEF中，AF=2，EF=

3

，
∴AE=

AF2+EF2

=

7

．
故答案分别为：4，

7

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、含30°的直角三角形的三边关系，勾股定理、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题．