Question

已知简单多面体的顶点数、面数、棱数分别为V、F、E，多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y．求证：+﹣=．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：在正x边形中有x条棱，因而在F个面中有Fx条棱．每条棱在相邻两面中各算一次，可得Fx=2E，同理Vy=2E，结合V+F﹣E=2，即可得出结论．

证明：在正x边形中有x条棱，因而在F个面中有Fx条棱．

∵每条棱在相邻两面中各算一次，∴Fx=2E．

同理，各顶点都有y条棱，Vy为多面体总棱数的两倍，∴Vy=2E．

∴F=，V=，

代入V+F﹣E=2中得+﹣E=2．

∴+﹣=．