Question

11．设函数f（x）=2cos²（$\frac{π}{4}$-x）+sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
（1）求f（-$\frac{π}{12}$）的值；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用即可化简函数解析式为：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），代入x=-$\frac{π}{12}$即可求解．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，从而可求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²（$\frac{π}{4}$-x）+sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1
=1+cos（$\frac{π}{2}$-2x）+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-1
=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin[2×（$-\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=0．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，即f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最小值为-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．