Question

如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．
解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．
记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，现在有
tanα=tg[（α+β）-β]==
记，那么，当时，y取得最小值2
因此，当时，tanα取得最大值
因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．
故所求点C的坐标为（，0）．
故答案为（，0）．
点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．