Question

已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到如图所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．

（1）求证：CD⊥PB；
（2）求二面角P-BC-D的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意证出BD⊥DC，然后结合平面PBD⊥平面BCD利用线面垂直的性质定理得CD⊥平面PBD，从而证得结论；
（2）由平面PBD⊥平面BCD，过P作BD的垂线PE，然后由E作EF⊥BC，连结PF后可得二面角的平面角，然后通过解直角三角形的答案；
（3）运用等积法求解．

解答：（1）证明：∵∠BAD=45°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°
∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC
∵平面PBD⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB；
（2）解：过P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，
过E作EF⊥BC于F，连结PF，由三垂线定理可证PF⊥BC
 
∴∠PFE为二面角P-BC-D的平面角，
∵PB=PD=1．
∴PE=BE=

2

2

，EF=

2

2

BE=

1

2

，在Rt△PEF中
∠PEF=90°，tanPFE=

PE

EF

=

2

，
∴二面角P-BC-D的大小为arctan

2

；
（3）解：设D到平面PBC的距离为h，
由PB=1求得BD=DC=

2

，BC=2，PC=

3

由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴PB⊥PC
∵V_C-PBD=V_D-PBC
∴

1

3

×

1

2

×PB×PD×DC
=

1

3

×

1

2

×PB×PC×h，则可得：
h=

PD×DC

PC

=

6

3

，即D到平面PBC的距离为

6

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了二面角的平面角及其求法，训练了等积法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．