Question

已知在四边形ABCD中，AD=DC=2，AB=4

2

，BC=2

6

，DC⊥AD，沿AC折叠，使D在底面ABC上的射影P在△ABC边AB的高线上．
（1）设E为AC中点，求证：PE∥平面BCD；
（2）求BD与平面ABC的所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1） 易证AC⊥面DPE．PE⊥AC，再由AC²+BC²=AB²得BC⊥AC，在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行得PE∥BC，再由线面平行的判断定理得证；
（2）由DP⊥面ABC和线面角的定义知：∠DPB为BD与面ABC所成的角再求解．

解答：（1）证明：连接DE，
∵DA=DC=2，DC⊥AD
∴AC=2

2

又∵E是中点，∴DE⊥AC
又∵DP⊥面ABC，AC?面ABC
∴AC⊥DP，又DP∩DE=D
∴AC⊥面DPE．又EP?面DEP
∴PE⊥AC（1）
在△ABC中，∵AC=2

2

，BC=2

6

，AB=4

2

∴AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC（2）（4分）
又PE，AC，BC都在面ABC内，
由（1），（2）知PE∥BC
又∵PE?面BCD，BC?面BDC
∴PE∥面BDC（7分）

（2）连接PB，∵DP⊥面ABC
∴∠DPB为BD与面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB=

3

2

，∴∠CAB=60°，∠ABC=30°
在Rt△ACH中，∠ACH=30°
在Rt△PEC中，CE=

2

，∠ACH=30°，PE=

6

3

，PC=

2

3

6

在Rt△DPE中，DP2=DE2-PE2，DP=

2

3

3

在△BCP中，∠BCP=60°，
PB=

PC2+CB2-2PC•CB•cos60°

=

2

3

42

(11分)
在Rt△DBP中，DP=

2

3

3

，PB=

2

3

42

∴tan∠DBP=

DP

PB

=

14

14

(15分)

点评：本题主要考查用量的关系证明位置关系以及线面平行判断定理和线面角的求法，属于中档题．