题目内容

正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：利用正四面体的性质、等边三角形的性质、余弦定理、线面角的定义即可得出．
解答：如图所示，连接EF．

不妨设BC=2，由正四面体可知：每个面都为正三角形，
∴DE⊥BC， $\text{[math]}$ =BF=CF，∴FE⊥BC，∴FE= $\text{[math]}$ ，BC⊥平面DEF，因此∠DEF为直线DE与平面BCF所成角．
在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握正四面体的性质、等边三角形的性质、余弦定理、线面角的定义是解题的关键．

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4、求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．

某同学使用类比推理得到如下结论：
（1）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类比出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
（3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x²+y²=r²，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x²+y²+z²=r²；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则

=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则

=3．
其中类比的结论正确的个数是（　　）

在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，则异面直线AF和CE所成角的正弦值为（　　）