Question

5．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为$\frac{\sqrt{6}}{16}$a²；若△ABC的平面直观图为边长为a的正△A′B′C′，那么△ABC的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$a²．

Answer 1

分析 由原图和直观图的面积之间的关系，求出原三角形的面积，可以求直观图的面积，
已知直观图的面积，也可以求原图的面积．

解答 解：正△ABC的边长为a，它的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
且原图和直观图之间的面积关系为$\frac{{S}_{直观图}}{{S}_{原图}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以直观图△A′B′C′的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{16}$a²；
若△ABC的直观图是边长为a的正三角形，则直观图的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
且原图和直观图之间的面积关系为$\frac{{S}_{直观图}}{{S}_{原图}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²÷$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a²．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{16}$a²，$\frac{\sqrt{6}}{2}$a²．

点评 本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系问题，是基础题目．