Question

16．（文科）设函数f（x）=x^m+ax的导数为f’（x）=2x+1，则数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和S_n取值范围是（　　）

• A． S_n＜1
• B． 0＜S_n＜1
• C． $\frac{1}{2}$＜S_n≤1
• D． $\frac{1}{2}$≤S_n＜1

Answer 1

分析 由导数性质求出f（x）=x²+x，从而得到$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和S_n取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x^m+ax的导数为f′（x）=mx^m-1+a，
又f′（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，∴f（x）=x²+x，
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
∵n∈N^*，∴当n=1时，（S_n）_min=1-$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
${S}_{n}=1-\frac{1}{n+1}$＜1，
∴数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和S_n取值范围是$\frac{1}{2}≤{S}_{n}＜1$．
故选：D．

点评 本题考查数列的前n项和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的性质和裂项求和法的合理运用．