对一切n∈N.(a+b)n-(an+bn)≥22n-2n+1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对一切n∈N，(a+b)ⁿ－(aⁿ+bⁿ)≥2²ⁿ－2ⁿ⁺¹．

答案：
解析：

分析　如果不等式是关于自然数命题的形式，又无好的切入点时，不妨试用数学归纳法来证明．

证明:(1)当n=1时，左边=(a+b)－(a+b)=0，右边=2²－2²=0，所以左=右，因此原不等式成立．

(2)假设n=k时，不等式成立，即(a+b)^k－(a^k+b^k)≥2^2k－2^k⁺¹．则n=k+1

于是有ab=a+b≥4．因此

(a+b)^k⁺¹－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)(a+b)^k－(a+b)(a^k+b^k)+(a+b)(a^k+b^k)－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

=(a+b)[(a+b)^k－(a^k+b^k)]+(a^k⁺¹+b^k⁺¹)+ab^k+ba^k－(a^k⁺¹+b^k⁺¹)

所以n=k+1时，原不等式成立．

综合(1)，(2)，对于任意的自然数n，原不等式成立．

练习册系列答案

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，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（

），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
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an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，若S_n＜

k-2004

对一切n∈N*成立，求最小的正整数m的值．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，S_n）在函数f（x）=x²+x的图象上．
（1）求a_n的表达式；
（2）设An为数列{

1	(an-1)(an+1)

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）将数列{a_n}依次按1项，2项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄），（a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀），
…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₁₀₀的值；
（4）如果将数列{a_n}依次按1项，2项，3项，4项循环；分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，提出同（3）类似的问题（（3）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

对一切n∈N，(a+b)ⁿ－(aⁿ+bⁿ)≥2²ⁿ－2ⁿ⁺¹．

设数列{a_n}的前n项和为S_n,对一切n∈N^*,点(n,S_n)在函数f(x)=x²+x的图象上.

(1)求a_n的表达式.

(2)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁),(a₂,a₃),(a₄,a₅,a₆),(a₇,a₈,a₉,a₁₀);(a₁₁),(a₁₂,a₁₃),(a₁₄,a₁₅,a₁₆),(a₁₇,a₁₈,a₁₉,a₂₀);(a₂₁),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n},求b₅+b₁₀₀的值.

(3)设A_n为数列{}的前n项积,是否存在实数a,使得不等式A_n＜a对一切n∈N^*都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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