Question

若关于x的方程x²+mx+m-1=0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意画出f（x）=x²+mx+m-1的图象，方程x²+mx+m-1=0有一个正根和一个负根，则函数f（x）有两个零点x₁，x₂，由题意不妨设x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|，有

f(0)＜0 - m 2 ＜0

，解得0＜m＜1．

解答： 解：根据题意，画出f（x）=x²+mx+m-1的图象，如图所示．
图象的对称轴为直线x=-

m

2

．
因为方程x²+mx+m-1=0有一个正根和一个负根，
则函数f（x）有两个零点x₁，x₂，
由题意不妨设x₁＞0，x₂＜0，且|x₁|＜|x₂|．
由题意，有

f(0)＜0 - m 2 ＜0

，故

m-1＜0 m＞0

．
∴0＜m＜1．
即所求的取值范围为（0，1）．

点评：本题考点是一元二次方程根的分布与系数的关系，考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围，本题解法是解决元二次方程根的分布与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧．