Question

（本小题满分14分）如图，已知直线OP₁，OP₂为双曲线E:的渐近线，△P₁OP₂的面积为，在双曲线E上存在点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线E的离心率为.

（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x_2­，则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
（2）求双曲线E的方程；
（3）设双曲线E上的动点,两焦点,若为钝角,求点横坐标的取值范围.

Answer 1

（1）∴x₁·x₂＝;（2）－＝1;（3）－，－2)∪(2，)

试题分析：（1）设双曲线方程为－＝1，由已知得＝
　　　　∴＝　　∴渐近线方程为y＝±x   …………2分
则P₁(x₁，x₁) P₂(x_2­，－x₂)
设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tanθ＝　∴sin2θ＝＝
∴＝|OP₁||OP₂|sin2θ＝·
∴x₁·x₂＝                                              …………5分
（2）不妨设P分所成的比为λ＝2，P(x，y)， 则
x＝　y＝＝　　　
∴x₁＋2x₂＝3x x₁－2x₂＝2y                                    …………7分
∴(3x)²－(2y)²＝8x₁x₂＝36　　
∴－＝1　即为双曲线E的方程                                …………9分
（3）由（2）知C＝，∴F₁(－，0) F₂(，0) 设M(x₀，y₀)
则y＝x－9，＝(－－x₀，－y₀) ＝(－x₀，－y₀)
∴·＝x－13＋y＝x－22                     …………12分
若∠F₁MF₂为钝角，则x－22＜0
∴|x₀|＜ 又|x₀|＞2
∴x₀的范围为(－，－2)∪(2，)            ……14分
点评：本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法