Question

设函数f（x）=a-

1

|x|

，
（1）若x∈[

2

2

，+∞），①判断函数g（x）=f（x）-2x的单调性并加以证明；②如果f（x）≤2x恒成立，求a的取值范围；
（2）若总存在m，n使得当x∈[m，n]时，恰有f（x）∈[2m，2n]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①把f（x）的解析式代入后，直接利用函数的单调性的定义证明；
②由①中的单调性求出g（x）的最大值，由最大值小于等于0求解a的范围；
（2）求出函数的定义域，然后分m，n同正和同负两种情况分析，借助于函数的单调性的方程组，然后再转化为方程的根进行分析．

解答：解：（1）①x∈[

2

2

，+∞）时，g（x）=f（x）-2x=a-

1

x

-2x．
任取x1＞x2≥

2

2

，
g(x1)-g(x2)=

1

x2

+2x2-

1

x1

-2x1=

(x2-x1)(2x1x2-1)

x1x2

．
∵x1＞x2≥

2

2

，∴x₂-x₁0，x₁x₂＞0．
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，g（x₁）＜g（x₂）．
∴g（x）在[

2

2

，+∞）上单调递减．
②f（x）≤2x?g（x）≤0，∵g（x）在[

2

2

，+∞）上单调递减，
∴gmax(x)=g(

2

2

)=a-2

2

≤0，∴a≤2

2

．
（2）∵f（x）=a-

1

|x|

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴mn＞0
若n＞m＞0，则f(x)=a-

1

x

，且在[m，n]上递增，∴

f(m)=2m f(n)=2n

，∴

a= 1 m +2m a= 1 n +2n

．
∴m，n是2x+

1

x

=a的两个根，即2x²-ax+1=0的两个根，
∴

△=a2-8＞0 x1+x2= a 2 ＞0 x1x2= 1 2 ＞0

，解得a＞2

2

．
若m＜n＜0，则f（x）=a+

1

x

，且在[m，n]上递减，
∴

f(m)=2n f(n)=2m

，∴

a+ 1 m =2n a+ 1 n =2m

，相减得：mn=

1

2

，代回得：a=0．
综上所得：a的取值范围是（2

2

，+∞）∪{0}．

点评：本题考查了函数的单调性的定义及证明，考查了函数的恒成立问题，体现了数学转化思想方法，在转化过程中一定注意函数的定义域．其中蕴涵了分类讨论思想．是有一定难度题目．