Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：因为a₁=4，，
所以；．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，，
所以当n≥2时，，，
…，．
相加得，
所以，
所以．
当n=1时，成立，
所以．
（Ⅱ）证明：因为，所以．
因为，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，则，即n≥2时，b_n+1＜b_n．
又因为，，所以．
分析：（Ⅰ）根据a₁=4，，可得数列的前3项，利用a₁，a₂+6，a₃成等差数列，确定p的值，再利用叠加法，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定以，进而可知n≥2时 b_n+1＜b_n，结合，，可证结论．
点评：本题考查数列递推式，考查叠加法求数列的和，考查数列的单调性，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．