Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A₁、A₂是双曲线的左右顶点，M（x₀，y₀）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA₁与直线MA₂的斜率之积是

144

25

，
（1）求双曲线的离心率；
（2）若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A₁、A₂是双曲线的左右顶点，直线MA₁与直线MA₂的斜率之积是

144

25

，求出直线MA₁与直线MA₂的斜率，然后整体代换，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得双曲线的离心率；
（2）由该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，以及双曲线的离心率，即可得到，

解答：解；（1）因为M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点，
则

x02

a2

-

y02

b2

=1，得到

y02

b2

=

x02-a2

a2

，故

y02

x02-a2

=

b2

a2

，
又A₁（-a，0），A₂（a，0），
则kMA1-kMA2=

y0

x0+a

-

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=

b2

a2

=

144

25

，
及

c2-a2

a2

=e2-1=

144

25

，解之得e=

13

5

； 
（2）取右焦点F（c，0），一条渐近线y=

b

a

x，即bx-ay=0，
由于该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，则有

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b=12，
由（1）知

b2

a2

=

144

25

，∴a=5，
故双曲线的方程是

x2

25

-

y2

144

=1．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．