Question

如图所示，△ABC中，AB=AC=2

3

，∠B₁AB=∠B₁BA=30°，过B₁作B₁A₁∥BA，过A₁作A₁B₂∥AB₁，过B₂作B₂A₂∥B₁A₁，过A₂作A₂B₃∥A₁B₂，过B₃作B₃A₃∥B₂A₂，…．若将线段B_nA_n的长度记为a_n，线段A_nB_n+1的长度记为b_n，（n=1，2，3…），则a₁+b₁=

 

，

lim

n→∞

[(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)]=

 

．

Answer 1

分析：设|AB₁|=|BB₁|=x，由余弦定理可知，x²+x²-2x²cos120°=12，解得x=2．由此可知a1=

4 3

3

．同理，由余弦定理可知3b12=

48

9

，所以能够求出a₁+b₁的值．同理可知a2+b2=

8

9

(

3

+1)，a3+b3=

16

27

(

3

+1)，…，an+bn=

4

3

(

3

+1)• (

2

3

)n-1，由此能够得到

lim

n→∞

[(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)]的值．

解答：解：∵AB=AC=2

3

，∠B₁AB=∠B₁BA=30°，B₁A₁∥BA，A₁B₂∥AB₁，B₂A₂∥B₁A₁，A₂B₃∥A₁B₂，B₃A₃∥B₂A₂，…．
设|AB₁|=|BB₁|=x，由余弦定理可知，x²+x²-2x²cos120°=12，解得x=2．
∵|BC|=

12+12-2×12×cos120°

=6，
∴

a1

2 3

=

6-2

6

，
∴a1=

4 3

3

．
同理，由余弦定理可知3b12=

48

9

，
∴b1=

4

3

．
∴a₁+b₁=

4

3

(

3

+1)．
同理可知a2+b2=

8

9

(

3

+1)，a3+b3=

16

27

(

3

+1)，…，an+bn=

4

3

(

3

+1)• (

2

3

)n-1，

lim

n→∞

[(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)]
=

lim

n→∞

[

4

3

(

3

+1)+

8

9

(

3

+1)+…+

4

3

(

3

+1)•(

2

3

)n-1]
=

4 3

1- 2 3

(

3

+1) =4(

3

+1)．
答案：

4

3

(

3

+1)，4(

3

+1)．

点评：本题考查数列的综合知识，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．