Question

如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，-1），∠B的内角平分线方程是x-4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y-59=0．求顶点B的坐标和直线BC的方程．

Answer 1

分析：先设点B的坐标（a，b），根据∠B的内角平分线方程是x-4y+10=0得到关于a，b的一个方程，再结合AB中点（

a+3

2

，

b-1

2

）在过点C的中线上，即可求出点B的坐标，最后结合夹角公式求出直线BC的斜率即可求直线BC的方程．

解答：解：设B（a，b），由过点B的角平分线方程x-4y+10=0得
a-4b+10=0，①…（2分）
又AB中点（

a+3

2

，

b-1

2

）在过点C的中线上，
6×（

a+3

2

）+10×

b-1

2

=59，②
由①②可得a=10，b=5，
∴B点坐标为（10，5）…（5分）
则直线AB的斜率K_AB=

5-(-1)

10-3

=

6

7

又∠B的内角平分线的斜率k=

1

4

…（6分）
所以得

k- kAB

1+k•KAB

=

KBC-K

1+k BC•k

⇒

1 4 - 6 7

1+ 1 4 × 6 7

=

KBC- 1 4

1+ 1 4 •KBC

解得K_BC=-

2

9

…（10分）
∴直线BC的方程为y-5=-

2

9

（x-10）⇒2x+9y-65=0
综上，所求点B的坐标为（10，5），
直线BC的方程为    2x+9y-65=0…（12分）

点评：本题主要考查两直线的夹角与到角问题．解决本题的关键在于根据夹角与到角公式求出直线BC的斜率．