Question

 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，， ，是线段的中点．

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）证明：因为侧面，平面， 

所以.

     又因为△是等边三角形，是线段的中点，所以．

     因为，所以平面．

     而平面，所以．…………………………………………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱锥的高．

由，，可得．

因为△是等边三角形，可求得．

所以．………………8分

（Ⅲ）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

 则，，，．

，，．

设为平面的法向量．

由   即

令，可得．………………………10分

设与平面所成的角为．

．

所以与平面所成角的正弦值为． …………………………………12分