Question

6．自圆C：（x-3）²+（y+4）²=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{13}{10}$
• B． 3
• C． 4
• D． $\frac{21}{10}$

Answer 1

分析 由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程，结合条件和两点之间、点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．

解答 解：由题意得，圆心C（3，-4），半径r=2，如图：
因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|²+r²=|PC|²，
所以x²+y²+4=（x-3）²+（y+4）²，
即6x+8y-21=0，所以点P在直线6x+8y-21=0上，
要使|PQ|最小，只要|PO|最小即可，
当直线PO垂直于直线6x+8y-21=0时，|PQ|最小，
此时|PQ|最小值是$\frac{|-21|}{\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}}$=$\frac{21}{10}$，
故选：D．

点评 本题考查圆的切线性质，勾股定理、两点之间和点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．