题目内容
7．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P、Q分别在直线l和圆C上运动，求|PQ|的最小值．
分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：直线l的普通方程．圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ） 由平面几何知识知：最小值为圆心C到l的距离减半径，利用点到直线的距离公式可得圆心C到l的距离d．
解答 解：（I）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：直线l的普通方程为x-y+1=0．
圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得圆C的直角坐标方程：（x-1）2+y2=1．
（Ⅱ） 由平面几何知识知：最小值为圆心C到l的距离减半径，∵圆心到直线的距离$d=\frac{{|{1+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$．
∴|PQ|的最小值为$\sqrt{2}-1$．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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经电脑模拟发现年宣传费x（单位：万元）与年销售量y（单位：吨）之间近似满足关系式：y=a•xb（a，b＞G），即lny=b•lnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．
| 年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
| 年宣传费x（万元） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
| 年销售量y（吨） | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
| $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi•lnyi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnyi） | $\sum_{i=1}^{6}$（lnxi）2 |
| 75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（Ⅱ）规定当产品的年销售量y（单位：吨）与年宣传费x（单位：万元）的比值在区间（$\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}$）内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．（其中e为自然对数的底数，e≈2.7183）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=β•u+a中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}•{v}_{i}）-n（\overline{u}•\overline{v}）}{{\sum_{i=1}^{n}u}_{i}^{2}-n（\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$•$\overline{u}$．