题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．

（Ⅰ）解：由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∵a²=b²+c²，
∴ $\text{[math]}$ ，c=1，
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∵直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴k₁•k₂为定值 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k₁，k₂，将P的坐标的关系代入k₁k₂化简求出其值．
点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．