Question

数列{a_n}为正项等比数列，且满足a1+

1

2

a2=4，

a

2 3

=

1

4

a2a6；设正项数列{b_n}的前n项和为S_n，满足

bn+1

2

=

Sn

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设C_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，由

a

2 3

=

1

4

a2a6，得

a

2 3

=

1

4

a

2 4

，可解得q²=4．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

bn+1

2

=

Sn

，得：Sn=

(bn+1)2

4

．当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

(bn+1)2

4

-

(bn-1+1)2

4

，得出数列{b_n}为等差数列，且公差d=2，由此能求出数列{C_n}的前项的和T_n．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由

a

2 3

=

1

4

a2a6，得

a

2 3

=

1

4

a

2 4

，
所以q²=4．
由条件知q＞0，故q=2．
由a1+

1

2

a2=4，得a1+

1

2

a1q=4，所以a₁=2．
故数列{a_n}的通项公式为：an=2n．
（2）又由

bn+1

2

=

Sn

，
得：Sn=

(bn+1)2

4

．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

(bn+1)2

4

-

(bn-1+1)2

4

，
∴4b_n=（b_n+1）²-（b_n-1+1）²
整理，得（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1-2）=0，
∵正项数列{b_n}，∴b_n-b_n-1=2，
∴数列{b_n}为等差数列，且公差d=2，
又

b

1

=S1=

(b1+1)2

4

，∴

b

1

=1，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
由c_n=a_nb_n，得Cn=(2n-1)×2n，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（2×1-1）2¹+（2×2-1）2²+…+（2n-1）2ⁿ，①
2Tn=(2×1-1)×22+(2×2-1)×23+…+(2n-1)×2n+1②
①-②，得：
-Tn=2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1+2

=2 2(2n-1-1) 2-1 -(2n-1)×2n+1+2 =2n+1-4-(2n-1)×2n+1+2 =-2(n-1)×2n+1-2.

∴Tn=2(n-1)×2n+1+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．