Question

设各项为正的数列{a_n}，其前n项和为S_n，并且对所有正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列{a_n}的前二项；     
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项建立等式关系，然后对n分别取1和2，求出数列{a_n}的前二项；
（2）将

an+2

2

=

2Sn

平方得Sn=

(an+2)2

8

，然后利用已知S_n求a_n的方法进行求解；
（3）b_n=a_n•（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2），（4n-2）3ⁿ是由等差数列4n-2与等比数列3ⁿ乘积构成，利用错位相减法求和，最后求出b_n的前n项和T_n．

解答：解：（1）由题意可得

an+2

2

=

2Sn

∴

a1+2

2

=

2a1

解得a₁=2，
∴

a2+2

2

=

2(a1+a2)

解得a₂=6
（2）由

an+2

2

=

2Sn

得Sn=

(an+2)2

8

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
即可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵各项为正的数列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=4
因此数列{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列，故a_n=4n-2
（3）由b_n=a_n（3^n-1-1），得b_n=（4n-2）（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2）
记c_n=（4n-2）3ⁿ，其n项和为U_n，则由错位相减法得U_n=3（1-3ⁿ）+（2n-1）3ⁿ⁺¹+3=（2n-2）3ⁿ⁺¹+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-

n(2+4n-2)

2

=(2n-2)3n+1+6-2n2．

点评：本题主要考查了等差中项、等差数列的通项和错位相减法在求和中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．