Question

（2011•重庆一模）设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，2

Sn

是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞

an2

2

恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4Sn=an2+2an，且a_n＞0． td 当n=1时，4a1=a12+2a₁，解得a₁=2．当n≥2时，有4S_n-1=an-12+2an-1．于是4an=an2-an-12+2an-2an-1．故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．由此能证明数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n．
（Ⅱ）因为a_n=2n，则

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能够证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．
（Ⅲ）由2Sn-4200＞

an2

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．故M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．由此能够求出集合M中满足条件的正整数m的个数．

解答：解：（Ⅰ）由已知，4Sn=an2+2an，且a_n＞0． …（1分）
当n=1时，4a1=a12+2a₁，解得a₁=2．    …（2分）
当n≥2时，有4S_n-1=an-12+2an-1．
于是4S_n-4S_n-1=an2-an-12+2an-2an-1，
即4an=an2-an-12+2an-2an-1．
于是an2-an-12=2an+2an-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因为a_n+a_n-1＞0，
所以a_n-a_n-1=2，n≥2．
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为a_n=2n，
则

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（5分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1．…（7分）
（Ⅲ）由2Sn-4200＞

an2

2

，
得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（9分）
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件．…（10分）
且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，
则2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个． …（12分）

点评：本题考查等差数列的证明，数列通项公式的求法，证明证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1和求集合中元素的个数．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．