Question

求函数y=

2x+4

-

x+3

的值域．

Answer 1

分析：一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域．本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解．

解答：解：函数的定义域由

2x+4≥0 x+3≥0

求得x≥-2．
求导得y′=

1

2x+4

-

1

2 x+3

=

2 x+3 - 2x+4

2 2x+4 • x+3

．
令y′＞0得2

x+3

＞

2x+4

，
即

2x+4＞0 x+3＞0 4(x+3)＞2x+4

解得x＞-2，
即函数y=

2x+4

-

x+3

在（-2，+∞）上是增函数．
又此函数在x=-2处连续，∴在[-2，+∞）上是增函数，而f（-2）=-1．
∴函数y=

2x+4

-

x+3

的值域是[-1，+∞）．

点评：函数y=f（x）在（a，b）上为单调函数，当在[a，b]上连续时，y=f（x）在[a，b]上也是单调函数．