Question

（理科做）
阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
阅读题目：对于任意实数a₁，a₂，b₁，b₂，证明不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
证明：构造函数f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等号成立当且仅当a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（2）用（1）中的不等式求函数y=

2

x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)的最小值，并指出此时x的值．
（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．

Answer 1

分析：（1）不等式两边同乘x+y，然后利用已知条件，证明不等式，再转化为所求证的不等式即可．
（2）直接利用（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²），求出函数的最小值即可．
（3）可将不等式推广到n元的情形，对于任意实数a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n，不等式（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）成立．证明如下：设f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）．注意到f（x）≥0，所以△≤0，推出要证明的结论．

解答：证明：（1）因为都是a，b，x，y正实数，由已知不等式得(x+y)(

a2

x

+

b2

y

)=[(

x

)2+(

y

)2][(

a

x

)2+(

b

y

)2]≥(

x

•

a

x

+

y

•

b

y

)2=(a+b)2，（2分）
所以不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（其中等号成立当且仅当

x

•

b

y

=

y

•

a

x

，即ay=bx．）…（4分）
解：2）因为0＜x＜

1

2

，所以y=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25…（7分）
（其中等号成立当且仅当2（1-2x）=3•2x即x=

1

5

∈(0，

1

2

)．
所以函数y=

2

x

+

9

1-2x

(0＜x＜

1

2

)有最小值25，此时x=

1

5

．…（10分）
解：（3）可将不等式推广到n元的情形，即
对于任意实数a₁，a₂，…，a_n；b₁，b₂，…，b_n，
不等式（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）成立．…（13分）
证明如下：
设f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²+…+（a_nx+b_n）²=（a₁²+a₂²+…+a_n²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）x+（b₁²+b₂²+…+b_n²）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）]²-4（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）．…（15分）
其中等号成立当且仅当a₁x+b₁=a₂x+b₂=…=a_nx+b_n=0，
即a_ib_j=a_jb_i（i，j=1，2，…，n，i≠j）．…（16分）

点评：本题是中档题，考查不等式的证明与应用，不等式求函数的最值，考查选上的阅读能力，知识的应用能力，逻辑推理能力．