题目内容

求函数y=
2x+4
-
x+3
的值域．
函数的定义域由
2x+4≥0
x+3≥0
求得x≥-2．
求导得y′=
1
2x+4
-
1
2
x+3

=
2
x+3
-
2x+4
2
2x+4
•
x+3
．
令y′＞0得2
x+3
＞
2x+4
，
即
2x+4＞0
x+3＞0
4(x+3)＞2x+4
解得x＞-2，
即函数y=
2x+4
-
x+3
在（-2，+∞）上是增函数．
又此函数在x=-2处连续，∴在[-2，+∞）上是增函数，而f（-2）=-1．
∴函数y=
2x+4
-
x+3
的值域是[-1，+∞）．
练习册系列答案
相关题目
求函数y=
2x+4
-
x+3
的值域．
（选修4-5：不等式选讲）已知实数m，n＞0．
（Ⅰ）求证：
a2
m
+
b2
n
≥
(a+b)2
m+n
；
（Ⅱ）求函数y=
2
x
+
9
1-2x
(x∈(0，
1
2
))的最小值．
（1）已知函数y=
2x-4
（x≥2），求它的反函数．
（2）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）=-x2+1在区间[0，+∞）上是减函数．
（理科做）
阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
成立．
（2）用（1）中的不等式求函数y=
2
x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值，并指出此时x的值．
（3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网