Question

（选修4-5：不等式选讲）已知实数m，n＞0．
（Ⅰ）求证：

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

；
（Ⅱ）求函数y=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）m，n＞0，利用柯西不等式可证（m+n）（

a2

m

+

b2

n

）≥（a+b）²，变形即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，将所求函数关系式y=

2

x

+

9

1-2x

变形为y=

22

2x

+

32

1-2x

，利用（Ⅰ）中的结论即可求得函数y=

2

x

+

9

1-2x

（x∈（0，

1

2

））的最小值．

解答：证明：（Ⅰ）∵m，n＞0，由柯西不等式，得（m+n）（

a2

m

+

b2

n

）≥（a+b）²，
∴

a2

m

+

b2

n

≥

(a+b)2

m+n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数y=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25，
∴函数y=

2

x

+

9

1-2x

（x∈（0，

1

2

））的最小值为25，当且仅当x=

1

5

时取得．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查柯西不等式的应用，考查化归思想与变形能力，属于中档题．