Question

1．已知函数f（x）=x²+ax+b，g（x）=lnx，记F（x）=f（x）-g（x），求F（x）在[1，2]的最大值．

Answer 1

分析 先求出F（x）的表达式，求出F（x）的导数，通过讨论a是范围，确定函数F（x）的单调性，从而求出F（x）在[1，2]上的最大值即可．

解答 解：F（x）=f（x）-g（x）=x²+ax+b-lnx，
F′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+ax-1}{x}$，x∈[1，2]，
令h（x）=2x²+ax-1，对称轴x=-$\frac{a}{4}$，
而h（1）=1+a，h（2）=7+2a，
①当a≥-1时：x=-$\frac{a}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
h（x）在[1，2]递增，h（1）≥0，
∴F′（x）≥0在x∈[1，2]恒成立，
∴F（x）在[1，2]单调递增，
F（x）_max=F（2）=7+2a，
②当-$\frac{7}{2}$≤a＜-1时，对称轴x=-$\frac{a}{4}$在区间[1，2]上，
此时，h（1）＜0，h（2）＞0，
F（x）在[1，2]先减后增，
∴F（x）_max=F（1）或F（2），
③a＜-$\frac{7}{2}$时：h（1）＜0，h（2）＜0，
即F′（x）＜0在[1，2]恒成立，
∴F（x）在[1，2]递减，
F（x）_max=F（1）=1+a．

点评 本题考查了二次函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论，是一道中档题．