Question

10．已知函数f（x）=x²-（lga+2）x+lgb，f（1）=-2，且f（x）≥-2x对x∈R恒成立．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）+2|x-m+1|的最小值为h（m），求h（m）的表达式．
（3）在（2）的条件下解h（m）＜1不等式．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=-2得a，b的方程①，由f（x）≥-2x即恒成立x²+xlga+lgb≥0对x∈R恒成立，得△=lg²a-4lgb≤0，消掉a得b的不等式，由此可得关于b的方程，从而得到b值，进而得到a值，进而得到所求解析式；
（2）运用分段函数的形式求得g（x），对m讨论，分当m-1≥3，当1＜m-1＜3，当m-1≤1，讨论单调性即可得到最小值h（m）；
（3）讨论m的范围，解不等式，先求交集，再求并集即可得到所求不等式的解集．

解答 解：（1）由f（1）=-2，得f（1）=1-（lga+2）+lgb=-2，化简得：lga-lgb=1，
∴$\frac{a}{b}$=10，即a=10b．
又由x∈R，f（x）≥-2x恒成立．知：x²-（lga+2）x+lgb≥-2x，即x²-xlga+lgb≥0对x∈R恒成立，
由△=lg²a-4lgb≤0，得（1+lgb）²-4lgb≤0，
即（lgb-1）²≤0，只有lgb=1，不等式成立，即b=10，∴a=100，
即有f（x）=x²-4x+1；
（2）g（x）=x²-4x+1+2|x-m+1|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+2-2m，x≥m-1}\\{（x-3）^{2}-10+2m，x＜m-1}\end{array}\right.$，
当m-1≥3，即m≥4时，即有g（x）在（-∞，3）递减，在（3，m-1）递增，在（m-1，+∞）递增，
即有x=3处取得最小值，且为2m-10；
当1＜m-1＜3即为2＜m＜4，即有g（x）在（-∞，m-1）递减，在（m-1，+∞）递增，
则x=m-1处取得最小值，且为m²-6m+6；
当m-1≤1即m≤2，即有g（x）在（-∞，m-1）递减，在（m-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
即有x=1处取得最小值，且为2-2m．
则有h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2m，m≤2}\\{{m}^{2}-6m+6，2＜m＜4}\\{2m-10，m≥4}\end{array}\right.$'
（3）当m≥4时，h（m）＜1即为2m-10＜1，即m＜$\frac{11}{2}$，
即有4≤m＜$\frac{11}{2}$；
当2＜m＜4时，m²-6m+6＜1解得1＜m＜5，即为2＜m＜4；
当m≤2时，2-2m＜1可得m＞$\frac{1}{2}$，即为$\frac{1}{2}$＜m≤2．
综上可得$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{11}{2}$．
即不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{2}$）．

点评 本题考查二次不等式恒成立问题的解法和解析式的求法，考查分类讨论的思想方法和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．