题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，焦距为
，抛物线
的焦点F是椭圆
的顶点.
（1）求与
的标准方程；
（2）上不同于F的两点P，Q满足以PQ为直径的圆经过F，且直线PQ与相切，求
的面积.
【答案】（1）
：
，
：
；（2）
【解析】
（1）直接根据焦距和离心率计算得到椭圆方程，再根据抛物线焦点得到抛物线方程.
（2）联立方程根据韦达定理得到
，
，根据
得到
，
，再计算面积得到答案.
（1）设椭圆的焦距为
，依题意有
，
，解得
，
，
故椭圆的标准方程为.
又抛物线
开口向上，故F是椭圆的上顶点，
，
，故抛物线的标准方程为.
（2）显然直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为
，
设
，
，则
，
，
因为以PQ为直径的圆经过F，
即
①
联立
，消去y整理得，
②
依题意，
，
是方程②的两根，
，
，，
将
和
代入①得
，
解得，（
时直线PQ过点F，不合题意，应舍去）
联立
，消去y整理得，
，
令
，解得.
经检验，，符合要求.
此时，
，
.
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