Question

【题目】已知函数(,为实数),.

(1)若函数的最小值是,求的解析式;

(2)在(1)的条件下,在区间上恒成立,试求的取值范围;

(3)若,为偶函数,实数,满足,,定义函数,试判断值的正负,并说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)的值为正.见解析

【解析】

(1)由已知，且,解二者联立的方程求出，的值，即可得到函数的解析式；

(2)将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范围；

(3)是偶函数，可得，求得，由，，可得异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可.

解:(1)由已知可得：,且，解得，，

∴函数的解析式是；

(2)在(1)的条件下，，即在区间上恒成立，

由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1，

∴的取值范围为；

(3)∵是偶函数,∴,∴,

由知异号,不妨设,则,又由得,

,

由得,又,得,

∴的值为正.