题目内容
【题目】已知函数
（
，
）的周期为
，图象的一个对称中心为
，将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
（1）求函数
与的解析式；
（2）求证：存在
，使得
，
，
能按照某种顺序成等差数列.
【答案】（1）
；
；（2）证明见解析
【解析】
（1）由周期公式可得
，
，再由对称中心可得
值，可得
解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；
（2）当
时
，问题转化为方程
在
内是否有解，由函数零点的存在性定理可得.
解：（1）
函数
的周期为
，，
，
又曲线
的一个对称中心为
，
，
，可得
，
，
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得
的图象，
再将的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
由诱导公式化简可得；
（2）当时，
，
，
，
问题转化为方程在内是否有解.
设
，，
，
，且函数
的图象连续不断，
函数在内存在零点
，
即存在
，使得
，
，
能按照某种顺序成等差数列.
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