题目内容

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若△OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
2
2
2
2
．
分析：根据椭圆的右准线为直线l，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，如图．利用△OMN为等腰直角三角形，可得OM=
2
ON，即可求得椭圆的离心率．
解答：解：∵椭圆的右准线为直线l：x=
a2
c
，
以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，如图，
∵△OMN为等腰直角三角形，
∴OM=
2
ON，即
a2
c
=
2
a，
∴e=
c
a
=
2
2
．
故答案为：
2
2
．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查等腰直角三角形的性质，属于基础题．
练习册系列答案
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设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）证明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2
设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
（2012•即墨市模拟）设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）
设-1＜a＜-
1
2
，则椭圆
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的离心率的取值范围是（　　）

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