Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|．
（Ⅰ）证明a=

2

b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x²+y²=t²上任意点M（x₀，y₀）处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，则OQ₁⊥OQ₂．

Answer 1

分析：证法一：设点A（c，y），y＞0，由题设条件能够推导出A(c，

b2

a

)，直线AF₂的方程为y=

b2

2ac

(x+c)，再由原点O到直线AF₁的距离得到

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，由此可得a=

2

b．
证法二：由题设知A(c，

b2

a

)，由椭圆定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，又|BO|=

1

3

|OF1|，所以

1

3

=

|F2A|

|F1A|

=

|F2A|

2a-|F2A|

，解得|F2A|=

a

2

，而|F2A|=

b2

a

，由此能够导出a=

2

b．
（Ⅱ）圆x²+y²=t²上的任意点M（x₀，y₀）处的切线方程为x₀x+y₀y=t²．当t∈（0，b）时，圆x²+y²=t²上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q₁和Q₂，因此点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐标是方程组

x0x+y0y=t2① x2+2y2=2b2②

的解．当y₀≠0时，由①式得y=

t2-x0x

y0

代入②式，得x2+2(

t2-x0x

y0

)2=2b2，然后结合题设条件利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：（Ⅰ）证法一：由题设AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），
F₂（c，0），不妨设点A（c，y），
其中y＞0，由于点A在椭圆上，
有

c2

a2

+

y2

b2

=1，

a2-b2

a2

+

y2

b2

=1，
解得y=

b2

a

，从而得到A(c，

b2

a

)，
直线AF₂的方程为y=

b2

2ac

(x+c)，
整理得b²x-2acy+b²c=0．
由题设，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|，
即

c

3

=

b2c

b4+4a2c2

，
将c²=a²-b²代入原式并化简得a²=2b²，即a=

2

b．

证法二：同证法一，得到点A的坐标为(c，

b2

a

)，
过点O作OB⊥AF₁，垂足为H，易知△F₁BC∽△F₁F₂A，
故

|BO|

|OF1|

=

|F2A|

|F1A|

由椭圆定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，又|BO|=

1

3

|OF1|，
所以

1

3

=

|F2A|

|F1A|

=

|F2A|

2a-|F2A|

，
解得|F2A|=

a

2

，而|F2A|=

b2

a

，
得

b2

a

=

a

2

，即a=

2

b；

（Ⅱ）圆x²+y²=t²上的任意点M（x₀，y₀）
处的切线方程为x₀x+y₀y=t²．
当t∈（0，b）时，圆x²+y²=t²上的任意点都在椭圆内，
故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q₁和Q₂，
因此点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐标是方程组

x0x+y0y=t2① x2+2y2=2b2②

的解．
当y₀≠0时，由①式得y=

t2-x0x

y0

代入②式，得x2+2(

t2-x0x

y0

)2=2b2，
即（2x₀²+y₀²）x²-4t²x₀x+2t⁴-2b²y₀²=0，
于是x1+x2=

4t2x0

2 x 2 0 + y 2 0

，
x1x2=

2t4-2b2 y 2 0

2 x 2 0 + y 2 0

y1y2=

t2-x0x1

y0

•

t2-x1x2

y1

=

1

y 2 0

[t4-x0t2(x1+x2)+

x

2 0

x1x2]
=

1

y 2 0

(t4-x0t2

4t2x0

2 x 2 0 + y 2 0

+

x

2 0

2t4-2b2 y 2 0

2 x 2 0 + y 2 0

)
=

t4-2b2 x 2 0

2 x 2 0 + y 2 0

．若OQ₁⊥OQ₂，
则x1x2+y1y2=

2t4-2b2 y 2 0

2 x 2 0 + y 2 0

+

t4-2b2 x 2 0

2 x 2 0 + y 2 0

=

3t4-2b2( x 2 0 + y 2 0 )

2 x 2 0 + y 2 0

=0．
所以，3t⁴-2b²（x₀²+y₀²）=0．由x₀²+y₀²=t²，得3t⁴-2b²t²=0．
在区间（0，b）内此方程的解为t=

6

3

b．
当y₀=0时，必有x₀≠0，同理求得在区间（0，b）内的解为t=

6

3

b．
另一方面，当t=

6

3

b时，可推出x₁x₂+y₁y₂=0，从而OQ₁⊥OQ₂．
综上所述，t=

6

3

b∈(0，b)使得所述命题成立．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．