Question

10．已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_n}_{+1}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}为等差数列，
∴a₃+a₄=a₂+a₅=22．
∵a₃•a₄=117，
∴${a_3}，{a_4}是方程{x^2}-22x+117=0$的两实根，
∵公差d＞0，∴a₃＜a₄．
∴a₃=9，a₄=13．
∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=9}\\{{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=4}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_n}_{+1}}}=\frac{4}{（4n-3）•（4n+1）}=\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$（1-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）$
=$1-\frac{1}{4n+1}$．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．