Question

1．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展开式的二项式系数之和比（3x-1）ⁿ的展开式的二项系数之和大992．求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展开式中：
（1）常数项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件求得n=5，利用由通项公式可得常数项；
（2）设第r+1项的系数最大，由通项公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{11-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\end{array}\right.$，求得 r=3，可得第4项的系数最大，再利用二项式展开式的通项公式，求得该项．

解答 解：（1）由题意可得 2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•x^10-2r，令10-2r=0，可得r=5
∴T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r=252．
（2）设第r+1项的系数最大，∵T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•x^10-2r，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{11-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，
故第4项的系数最大，该项为T₄=${C}_{10}^{3}$•2⁷•x⁴=15360x⁴．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．