Question

20．如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）
（1）求sin∠POQ；
（2）设函数f（x）=2$\sqrt{3}{cos^2}$x+sin2x，x∈[0，α]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）∠POQ=β-α，利用两角和差的正弦公式进行求解即可；
（2）利用辅助角公式将函数进行化简，进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得$sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosα=\frac{1}{2}$，$sinβ=\frac{4}{5}，cosβ=-\frac{3}{5}$-------------（2分）
∵α，β分别是锐角，钝角
$\begin{array}{l}∴sin∠POQ=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα\end{array}$------（4分）
=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}-（-\frac{3}{5}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$α=\frac{π}{3}$----------------（6分）
$f（x）=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos2x+sin2x$-----------------（7分）
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$---------------------（9分）
∵$x∈[0，\frac{π}{3}]$
∴$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，π]$
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$----------------------（11分）
∴f（x）的值域是$[\sqrt{3}，2+\sqrt{3}]$----------------------（12分）

点评 本题考查任意角三角函数的定义，两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式及三角函数的图象等知识，考查运算求解能力，考查转化与化归、数形结合思想方法．