Question

已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）函数的解析式为；（2）当时，在，内是增函数；当时在，内是增函数，在，内是减函数；（3）.

试题分析：（1）先求出导函数，进而根据曲线在点处的切线方程为得到即，从中可求解出的值，进而可确定函数的解析式；（2）针对导函数，对分、两类，由导数大于零求出函数的单调增区间，由导数小于零可求出函数的单调递减区间；（3）要使对于任意的，不等式在上恒成立，只须，由（2）的讨论，确定函数，进而得到不等式即，该不等式组对任意的成立，从中可求得.
（1），由导数的几何意义得，于是
由切点在直线上可得，解得
所以函数的解析式为             3分
（2）因为
当时，显然，这时在，内是增函数
当时，令，解得
当变化时，，的变化情况如下表：

	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 
所以在，内是增函数，在，内是减函数.......7分
（3）由（2）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当  即对任意的成立，从而得，所以满足条件的的取值范围是．.................13分.