题目内容

在△ABC中，已知 $数学公式$ ，P为线段AB上的一点，且 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C=90°，再由 $\text{[math]}$ ，S_△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 $\text{[math]}$ =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用 $\text{[math]}$ 利用基本不等式求解最小值．
解答：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵ $\text{[math]}$ ，S_△ABC=6
∴bccosA=9， $\text{[math]}$ bcsinA=6
∴tanA= $\text{[math]}$ ，根据直角三角形可得sinA= $\text{[math]}$ ，cosA= $\text{[math]}$ ，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 $\text{[math]}$ =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设 $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ =（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （7+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$
故所求的最小值为 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．