Question

已知正项数列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的两个实根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求数列{a_n}的通项公式;
（3）若,是前项和, ,当时,试比较与的大小.

Answer 1

（1），；（2）；（Ⅲ）当时,,当时, ．

试题分析：（1）是方程的两个实根，有根与系数关系可得，，，求，的值，可利用对数的运算性质，及已知，只需令即可求出，的值；（2）求数列的通项公式，由得，，所以，即，得数列的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列，分别写出奇数项和偶数项的通项公式，从而可得数列的通项公式；（Ⅲ）若,是前项和, ,当时,试比较与的大小，此题关键是求数列的通项公式，由（1）可知，可得，当时, =0,=0,得，当时,有基本不等式可得，从而可得0+=，即可得结论．
试题解析：（1）,
当时,,,
,
（2）,,
的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列.
,,

（3）
当时, =0,=0,.
当时,
0+=
综上,当时,,当时, .
或
猜测时,用数学归纳法证明
①当时,已证
②假设时,成立
当时,
即时命题成立
根据①②得当时,
综上,当时,,当时,