Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，给出下列四个命题：
①f（x）的最大值为3；
②将f（x）的图象向左平移 后所得的函数是偶函数；
③f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增；
④f（x）的图象关于直线x= 对称．
其中正确说法的序号是（ ）
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0），
=1+cos2ωx+ sin2ωx，
=2sin（2ωx+ ）+1，
f（x）的最小正周期为π，根据周期公式可知：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，
由正弦函数性质可知，f（x）的最大值为3，故①正确；
将f（x）的图象向左平移 后所得的函数为f（x）=2sin（2x+ ）+1，不是偶函数，故②错误；
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
∴x∈[kπ﹣ ，kπ+ ]，f（x）单调递增，
∴f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增，
故③正确；
令2x+ =kπ+ ，解得x= + ，f（x）的图象关于直线x= 对称，故④正确；
故答案选：D．
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．