Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为菱形， ， 底面， 为直线上一动点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若， 分别为线段， 的中点，求证： 平面；

（Ⅲ）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 连，由菱形可得．又由平面，可得，从而可得平面，可证得． (Ⅱ) 取的中点，连， ，由题意可得， ，故四边形为平行四边形，所以，由线面平行的判定定理可得平面． (Ⅲ)先假设存在满足条件的点．再进行推理，即过作的延长线于，连．可证得中， ， ，所以，从而．

试题解析：

（Ⅰ）证明：连结，

因为四边形为菱形，

所以．

因为平面， 平面，

所以．

又，

所以平面．

又平面,

所以．

（Ⅱ）证明：取的中点，连， ．

因为为线段中点，

所以， ．

因为四边形为菱形， 为线段的中点，

所以， ．

所以， ．

故四边形为平行四边形，

所以．

又因为平面， 平面，

所以平面．

（Ⅲ）解：直线上存在点，使得平面平面，且．理由如下：

如图，过作的延长线于，连．

因为菱形中，

所以．

因为底面， 平面，

所以．

又，

所以平面．

又因为平面，

故平面平面．

因为在中， ， ，

所以．

故直线上存在点，使得平面平面，且．